【理论】击球时乒乓球贴紧拍面的运动形态及受力

众所周知，摩擦区是一个复杂的动态三维弧面，受力情况时时、处处都在变化。这导致击球过程的理论建模、方程组求解、微积分运算都十分困难，计算量庞大，计算结果难以预料。加上核验研究成果需要的人力、物力、财力更不是小数目。对于这种难度大题目小，投入大产出小，难以出成果，费力不一定讨好的工作，国内外理论界极少有人涉足。相关文献多为蜻蜓点水式，发一篇论文了事，浅尝则止。该领域的系统性持续、深入研究几为空白。

本文以反拉弧圈击球过程为例，尽可能详尽地讨论球、拍接触期间乒乓球在紧贴拍面不同时段的各种运动形态及其受力。该过程很复杂，初步打算先把能确定的部分写下来，不懂的部分也提出来向球友请教，供球友讨论。

击球过程乒乓球在拍面上大致有四种相对运动形态，即不滚不滑、边转边滑、完全滚动、完全滑动。

下面按照三点两期的三角形击球模型，依球触拍时间先后顺序，分段讨论反拉弧圈击球全过程。关于该击球模型，可参考笔者另一篇帖子《乒乓球拍击球“瞬间”的简化模型分析（一）、（二）》。

图1 击球过程的三角形

一般为了说明问题方便起见，以球心位置点为代表，将乒乓球近似刚体球的平动轨迹抽象为质点运动。本文将代表性质点指定在球射入球拍套胶表面的最深点（参见图1）。该击球模型的三点A、B、C就是击球过程中球的触拍点、最深点、脱拍点，也是球、拍碰撞、摩擦过程的开始点、临界转折点、结束点。将此三点以直线连接构成一个三角形ABC。其中AC代表球拍套胶表平面，AB、BC分别为乒乓球在套胶压缩期和反弹期相对于球拍的平动运动轨迹。虽然将这两段运动轨迹设想成弧线似乎更为合理，但囿于笔者学识，难以对其间的受力性质、大小、方向和弧线曲率大小、方向变化进行最粗浅的分析，暂将其定为直线。笔者担心，如果随便画一条弧线，万一画反了方向，岂不是比直线更糟糕。

先讨论反拉弧圈球的击球过程。参见图2。

图2 反拉弧圈的击球过程

球和球拍所有运动路线都设为直线。假设水平来球方向为0度（最高点回击球，来球上旋），击球者拍型前倾为60度，挥拍角度为45度，挥拍方向与拍型夹角为15度，出球角度为30度（出球也是上旋，与来球旋转方向恰好相反）。鉴于球、拍质量相差悬殊，假设球拍运动不受来球碰撞、摩擦作用的影响，一直保持匀速直线运动状态。

因为来球和出球的旋转方向、速度方向都是相反的，所以乒乓球的平动和转动在击球过程中显然都存在一个静止、反向的临界点，即数据零点。

虽然刚体的平动与转动各有三个速度分量，由于我们限定了一根旋转轴x（因为来、回球的上旋都是围绕x轴，仅旋转方向相反），和一个纵立平面yz，所以只需要考虑一个旋转速度、一个平动法向分速度和一个平动切向分速度。其中旋转速度仅和球自身有关，后二者都是指球对于球拍套胶表面的相对速度，而不是相对于外界静止物体的三维空间绝对速度。这个绝对速度应该是这个相对速度和拍速的叠加。

这三个速度（v法向 、v切向、ω ）零点出现的时间点和空间点不一定完全相同。

1 A点（全过程的开始点，t = 0）

来球是一个强烈上旋球，与迎面而来的球拍高速相遇，第一个接触点就是A点。此时球拍对球的弹力与摩擦力均为零，因为摩擦全过程尚未开始。来球射向A点的直线与拍面夹角为真实入射角，它可由来球速度和拍速反向矢量依据平行四边形法则合成得到（参考图3），图3中黑色箭头指向的端点就是A点。

图3 真实入射角 b 与触拍点

2 AB线段区间（或AB时间期间、套胶压缩期、变形期）

反拉弧圈就是逆旋转方式处理对方打过来的上旋球。

AB期间（v法向 < 0、v切向< 0、 ω < 0。速度正负号均以上旋出球为正），球的转速方向与拍速方向在接触面上基本相反（参见图4）。

图4 AB段运动形态示意图

AB期间。在来球平动作用下，球运动前方的套胶表面主要受到冲击、挤压作用力，发生下凹、压缩变形；球侧方的套胶表面主要受到摩擦、撕扯作用，产生拉伸变形。套胶这两种离开平衡态的变形都会对球产生弹性力。

两种滑动摩擦也同时存在：平动射入的球对侧面套胶产生摩擦、滑动；来球的上旋旋转亦对套胶表面产生沿球面切线方向的滑动。虽然球旋转造成的滑动摩擦面是球冠面，但受力情况是不相同的，前方正压力大，滑动摩擦力就大，侧后方正压力小，滑动摩擦力也小。

这种运动状态下球有主动旋转、边转边滑边深入的特点。这种主动旋转与自行车后轮（主动轮）对地面的运动有点相似。

由于球、拍二者之间没有相对静止的时刻，所以不存在静摩擦力；由于球旋转并未造成球在拍面上指向B点的滚动，所以不存在滚动摩擦。综上述，此期间球的平动和转动都对套胶表面产生滑动摩擦，球的受力主要是球拍套胶的弹力和滑动摩擦力。

3 B点（摩擦的最深点、转折临界点，假设t = 0.5ms）

B点是球撞击、摩擦的最深点，也是套胶压缩期和反弹期的分界点。此点，套胶压缩变形最大，弹性势能最大，作用于球的加速度最大。显然，乒乓球法向平动的零点就在B点（ v法向 = 0），其后，球被法向反向加速弹起。假设转动的零点也在B点（ ω = 0）。这个假设存在某种不确定性，因为转动零点也可能在AB线段上的某一点（？），特别是转速很小的来球。在B点，球被套胶表面完全“吃”住，停止旋转，法向平动也是静止的。而切向平动仍在继续。因为球拍的切向运动并未停止，导致球的切向相对平动也未停止（ v切向 ≠ 0）。

简言之，B点前后，球的法向平动方向和转动方向都是完全相反的。

4 BC线段区间（或BC时间期间、套胶反弹期、恢复期）

B点时，套胶以最大的弹性力和拍速惯性力共同作用于球体，使其获得巨大的平动加速度。其法向速度从零开始，其后急剧增大，球被弹起。在B点，球的旋转被套胶表面完全“吃”住。在BC区间，v法向 > 0、v切向< 0、 ω > 0（速度正负号均以上旋出球为正）。球在球拍挥动与弹性力的共同作用下紧贴球拍表面；由于球被套胶“吃”住，在静摩擦力的作用下，球被动地向C点方向滚动。此滚动球的旋转方向是击球者的上旋球方向，与来球旋转方向完全相反。这种滚动是被动的、完全的（并未伴随着滑动），与自行车前轮（从动轮）的滚动有几分相似。

球此期间沿拍面滚动的动力来自球拍面的静摩擦力，方向为C点指向B点，由于球被套胶“吃”住，球滚动方向为B点指向C点。

球沿拍面一开始滚动就会受到一个反向的阻力，即滚动摩擦力。一般认为滚动摩擦力是由接触面上材料的形变产生的。滚动摩擦力一般很小，仅为滑动摩擦力的2%左右。所以并不能对球向C点的滚动产生决定性影响。

简单说就是拍对球的静摩擦力是使球滚动的动力，很大；滚动摩擦力是球滚动的阻力，较小。

BC末期，当球速与转速越来越大，球、拍接触面积越来越小，球拍的弹力越来越小，最大静摩擦力也越来越小的情况下，切向相对作用力达到并超过最大静摩擦力时，滑动就会开始（相对滑动的方向有待进一步深入考察）。因此BC末期也可能存在球沿拍面边转边滑的运动状态。注意，此时在接触面上球的转速方向与拍速方向是基本相同的（参见图5）。

图5 BC段运动形态示意图

5 C点（球、拍接触过程的结束点，假设t = 1ms）

C点是球与拍接触的最后一个点，球速与转速均达到最大。球拍带动乒乓球强烈上旋并从此点高速脱离球拍面（ω >0、 v球法向 > 0、v球切向> 0、在出球方向上v球 > v拍）。此时球拍对球的所有作用力包括弹力与摩擦力均为零，因为摩擦全过程在此点结束。出球弧线在脱拍点C的切线与球拍面的夹角为出射角（参见图6角2，图中红球是来球，蓝球是出球）。它的角度粗略估计可由碰撞模型得到，取来球速度反向矢量与拍速依据平行四边形法则合成即可。

图6 入射角 出射角示意图

C点以后，乒乓球的受力完全与球拍作用力无关，重点考虑空气作用力和重力。当然，不要忘记，球自身的初速度和初角速度也能代表它具有一定的惯性力。

综上述，击球过程乒乓球在拍面上的运动形态如下：AB段为边转边滑；BC段为完全滚动，末期可能存在边转边滑。这里转字单独指球主动旋转、固有、自转的意思；滚字带有球被动旋转、被套胶“吃”住、沿拍面相对滚动的含义。

完全滑动运动形态在乒乓球正常击球过程中并不存在，仅当零角度拉不转球“漏球”时的状态有点相似------球从拍面掠过既无碰撞也无摩擦。汽车刹车时制动抱死车轮仍向前滑动一小段也属于完全滑动。

不滚不滑仅存在于理想状态下球拍对不转球的垂直击打，球沿套胶表面法向直进直出，入射角和出射角均为90度。

请注意，拍速并不是乒乓球获得动能的唯一来源，球拍在恢复期的弹力贡献亦不可忽视。有专家指出，后者比前者要大得多。球拍弹力的数学处理比较复杂，常用到有限元法求解弹性力学15个基本方程，设定边界条件，借助于计算机和专业软件进行近似计算。这方面的工作已经有人在做，但实用数据仍然很少。

水平有限，出于对乒乓球的热爱写了以上讨论文字，更多的是提出迷惑与不解，请教于各位球友、专家。