【实用篇】数学中那么多的巧合，如何切入！

2021-08-31 11:37:59

我们平时在做题时经常在题目中遇到以下这种字眼

点P恰好落在线段AB上（当直线AB经过点P时）

当点A落在抛物线时

⊙O与△ABC一边所在直线相切时

当t为何值时，四边形ABCD为菱形

·······

从这些描述中，我们都会发现，这里面存在着一种巧合问题，就像老妈去菜市场买菜刚好碰到隔壁王阿姨一样的巧合，而正是这一些列的巧合，就引出了一系列的数学题

那么遇到这类巧合时，如何来解题呢？

比如当直线AB经过点P时，我们可以这样来思考：

1、当点P落在AB上后会有什么新的结论；

2、这个结论是否非得点P落在AB上才有；

3、如果点P不落在AB上也有这个结论，那么它就不是解题关键，是的话，就可以去尝试！

这类题讲的并不是某一个特定的知识点的考察，而是一种数学的解题思想，即当遇到这类题时该从哪方面去下手

今天以近期无锡各校考得4道试题为例，来阐述一下这类题的大致解题思路！

例题1

（2016·上海中考）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为　　．

【解析】

不管什么解题思路，先把图给画出来（我又要吐槽了，有些同学的画图水平实在不敢恭维）

然后就会出现下面这张图

既然需要点A′、C′、B在同一条直线上，那么我们就思考，当这三个点在一直线时，会有什么新的结论呢？

言五君发现，当这三个点在一直线时，就变成了两条直线相交，就会出现对顶角相等（图中标记的两个角），继而出现熟悉的X型相似（很明显，不是一直线时是没有的！）

如图，即△ABC'∽△DA'C' ，所以设AB=CD=C'D=x，所以AC'=2-x

例题2

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点F，则BF=____________．

【解析】

首先，本题中先考察了旋转的性质，如下图，即有AC=AC’，AB=AB’，∠CAC’=∠BAB’，连接CC’和BB’，也就是会出现△CAC’和△BAB’两个等腰三角形，且由于顶角相等，这两个等腰三角形的底角也相等

再回到本题，当点C’落在CO延长线上时，就相当于连接了CC’，那么就会有以上的结论（如果点C'不在CO延长线上，上面的结论是没有的！）。

所以由以上分析可知，△ACC’和△ABB’为两个顶角相等的等腰三角形，所以底角也相等，所以∠ACC’=∠ABB’，又因为∠AOC=∠BOF，所以△AOC∽△FOB，因为CO=AO，所以BO=BF。所以要求BF，即为求BO的长.

要求BO的长，我们再来看一下下面这题

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，在AC上找一点D，使得BD=BC，求CD的长（或者AD的长）

利用等腰三角形三线合一性质，过点B作BE⊥AC，可利用相似或三角函数快速求出CE的长，所以CD也就出来了

再回来看这题，“CA=CO=6，cos∠CAB= ”，可求出AB=18，不正是上面这题吗？

所以过点C作CD⊥AB，可AD=AC·cos∠CAB=2，所以AD=4，所以BO=14，即BF=14.

例题3

（1）求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
（2）将△EAC沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值.

【解析】

（1）A（0，m），D（1，1+m）

（2）这题大家都知道只要求出P点坐标，然后代入抛物线求解即可，这也是大部分“点落在某个函数上”时的一般解题方法.

要使E的对称点P落在抛物线上，求出E点坐标即可，E点是两条直线的交点，那么思路就有了

例题4

如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，，动点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．
（1）求tanA的值；
（2）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值.